Kvadrat tenglamani qanday chizish mumkin: 10 qadam (rasmlar bilan)

2024 Muallif: Robert Blare | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-02-02 02:08

Grafik tuzilganda, shaklning kvadrat tenglamalari bolta² + bx + c yoki a (x - h)² + k parabola deb nomlangan silliq U shaklidagi yoki teskari U shaklidagi egri chiziqni bering. Kvadrat tenglamani chizish - uning tepasini, yo'nalishini va ko'pincha uning x va y kesmalarini topish masalasidir. Nisbatan oddiy kvadrat tenglamalar holatida, x qiymatlar oralig'ini ulash va natijada olingan nuqtalarga asoslangan egri chizish ham etarli bo'lishi mumkin. Ishni boshlash uchun quyidagi 1 -qadamga qarang.

Qadamlar

Qadam 1. Kvadrat tenglamaning qaysi shakli borligini aniqlang

Kvadrat tenglamani uch xil shaklda yozish mumkin: standart shakl, tepalik shakli va kvadrat shakli. Kvadrat tenglamani chizish uchun har ikkala formadan ham foydalanishingiz mumkin; har birini tasvirlash jarayoni biroz boshqacha. Agar siz uy vazifasini bajarayotgan bo'lsangiz, siz odatda bu ikki shakldan birini olasiz - boshqacha qilib aytganda, siz tanlay olmaysiz, shuning uchun ikkalasini ham tushunish yaxshidir. Kvadrat tenglamaning ikkita shakli:

• Standart shakl.

  Bu shaklda kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi: f (x) = ax² + bx + c - bu erda a, b va c - haqiqiy sonlar va a nolga teng emas.

  Masalan, ikkita standart shakldagi kvadrat tenglamalar f (x) = x² + 2x + 1 va f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex shakli.

  Bu shaklda kvadratik tenglama quyidagicha yoziladi: f (x) = a (x - h)² + k bu erda a, h va k haqiqiy sonlar va a nolga teng emas. Vertex shakli shunday nomlangan, chunki h va k to'g'ridan -to'g'ri (h, k) nuqtada parabolangizning tepasini (markaziy nuqtasini) beradi.

  Ikki tepalik shakli tenglamasi f (x) = 9 (x - 4)² + 18 va -3 (x - 5)² + 1

• Bu turdagi tenglamalarni grafikasini chizish uchun, avvalo, egri chiziqning "uchida" markaziy nuqtasi (h, k) bo'lgan parabolaning tepasini topishimiz kerak. Tepalikning koordinatalari standart shaklda: h = -b/2a va k = f (h) bilan berilgan, tepalik shaklida esa h va k tenglamada ko'rsatilgan.

Qadam 2. O'zgaruvchilaringizni aniqlang

Kvadratik masalani yechish uchun odatda a, b va c (yoki a, h va k) o'zgaruvchilarni aniqlash kerak. O'rtacha algebra muammosi sizga o'zgaruvchilar bilan to'ldirilgan kvadrat tenglamani beradi, odatda standart shaklda, lekin ba'zida tepalik shaklida.

• Masalan, standart forma tenglamasi uchun f (x) = 2x² + 16x + 39, bizda a = 2, b = 16 va c = 39 bor.
• Tepalik uchun f (x) = 4 (x - 5) tenglama² + 12, bizda a = 4, h = 5 va k = 12 bor.

3 -qadam. H ni hisoblang

Tepalik formali tenglamalarda h uchun sizning qiymatingiz allaqachon berilgan, lekin standart shakldagi tenglamalarda uni hisoblash kerak. Shuni esda tutingki, standart formulalar uchun h = -b/2a.

• Bizning standart shaklimiz misolida (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Yechib, biz h = ni topamiz - 4.
• Bizning tepalik shaklidagi misol (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), biz h = 5 ni hech qanday matematiksiz bilamiz.

Qadam 4. k ni hisoblang

H bilan bo'lgani kabi, k allaqachon tepalik shaklidagi tenglamalarda ma'lum. Standart shakl tenglamalari uchun k = f (h) ekanligini unutmang. Boshqacha qilib aytganda, siz tenglamangizdagi har bir x misolini h uchun topilgan qiymat bilan almashtirish orqali k ni topishingiz mumkin.

• Biz standart shaklda h = -4 ekanligini aniqladik. $ K $ ni topish uchun biz tenglamamizni $ h $ o'rnini x bilan almashtiramiz:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -qadam.

• Bizning tepalik shakli misolida, biz hech qanday matematikaga muhtoj bo'lmasdan, k qiymatini bilamiz (bu 12 ga teng).

5 -qadam. O'zingizning tepalik chizig'ingizni tuzing

Parabolangizning tepasi (h, k) - h nuqtasi bo'ladi, x koordinatasini, k esa y koordinatasini bildiradi. Tepalik sizning parabolangizning markaziy nuqtasidir - "U" ning pastki qismi yoki tepaga qaragan "U" tepasi. Tepalikni bilish aniq parabolani chizishning muhim qismidir - ko'pincha maktab ishlarida tepani belgilash savolning zarur qismi bo'ladi.

• Bizning standart shakldagi misolimizda, tepamiz (-4, 7) da bo'ladi. Shunday qilib, bizning parabola 0 va 7 bo'shliqlar (0, 0) ning chap tomonidagi 4 bo'shliqqa ko'tariladi. Biz koordinatalarni belgilashga ishonch hosil qilib, bu nuqtani grafigimizda chizishimiz kerak.
• Bizning tepalik shakli misolida tepamiz (5, 12) darajasida. Biz o'ngda 5 bo'sh joy va yuqoridagi 12 bo'shliq (0, 0) nuqtasini chizishimiz kerak.

Qadam 6. Parabolaning o'qini chizish (ixtiyoriy)

Parabolaning simmetriya o'qi - uning o'rtasidan o'tuvchi chiziq bo'lib, uni yarmiga bo'linadi. Bu o'q bo'ylab, parabolaning chap tomoni o'ng tomonini aks ettiradi. Balta shakli kvadratikasi uchun² + bx + c yoki a (x - h)² + k, eksa-y o'qiga parallel (boshqacha aytganda, mukammal vertikal) va tepadan o'tuvchi chiziq.

Bizning standart shakl misolimizda, o'qi y o'qiga parallel va (-4, 7) nuqtadan o'tuvchi chiziq. Garchi bu parabolaning bir qismi bo'lmasa -da, bu chiziqni grafigingizga engil belgilash, oxir -oqibat parabolaning nosimmetrik tarzda egilishini ko'rishga yordam beradi

Qadam 7. Ochilish yo'nalishini toping

Parabolaning tepa va o'qini aniqlagandan so'ng, biz parabola yuqoriga yoki pastga ochilishini bilishimiz kerak. Yaxshiyamki, bu oson. Agar "a" ijobiy bo'lsa, parabola yuqoriga qarab ochiladi, agar "a" salbiy bo'lsa, parabola pastga qarab ochiladi (ya'ni teskari o'giriladi).

• Bizning standart shakl namunamiz uchun (f (x) = 2x² + 16x + 39), biz bilamizki, bizda yuqoriga ochiladigan parabola bor, chunki bizning tenglamamizda a = 2 (musbat).
• Bizning tepalik shakli uchun misol (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), biz bilamizki, bizda parabola yuqoriga qarab ochiladi, chunki a = 4 (musbat).

8 -qadam. Agar kerak bo'lsa, x kesmalarini toping va tuzing

Ko'pincha, maktab ishlarida sizdan parabolaning x-kesishmalarini topishingiz so'raladi (bu parabola x o'qiga to'g'ri keladigan bir yoki ikkita nuqta). Agar siz ularni topmasangiz ham, bu ikkita nuqta aniq parabola chizish uchun bebaho bo'lishi mumkin. Biroq, hamma parabolalarda x-kesmalar mavjud emas. Agar sizning parabolada tepa tepa ochilsa va x o'qi tepasida bo'lsa yoki pastga ochilsa va x o'qi ostida tepada bo'lsa, unda hech qanday x tutish bo'lmaydi. Aks holda, x usulini quyidagi usullardan biri bilan hal qiling:

• Faqat f (x) = 0 ni o'rnating va tenglamani eching. Bu usul oddiy kvadratik tenglamalar uchun, ayniqsa tepalik shaklida ishlashi mumkin, lekin murakkablari uchun juda qiyin bo'ladi. Misol uchun pastga qarang

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 va 13 parabolaning x-kesishmalaridir.

• Tenglamangizga omil bo'ling. Boltadagi ba'zi tenglamalar² + bx + c shaklini (dx + e) (fx + g) formasiga osongina kiritish mumkin, bu erda dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx va e × g = c. Bunday holda, sizning x kesmalaringiz x uchun qiymatlar bo'lib, ular qavs ichida har qanday atamani = 0 qiladi. Masalan:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Bunday holda, sizning yagona x kesishingiz -1 bo'ladi, chunki x ni -1 ga tenglashtirish qavs ichidagi faktorlangan atamalardan birini 0 ga teng qiladi.

• Kvadrat formuladan foydalaning. Agar siz o'zingizning x -kesishlaringizni osongina hal qila olmasangiz yoki tenglamangizni aniqlay olmasangiz, aynan shu maqsad uchun mo'ljallangan kvadrat formulasi deb nomlangan maxsus tenglamadan foydalaning. Agar u hali bo'lmasa, tenglamangizni ax boltiga kiriting² + bx + c, keyin a, b va c ni x = (-b +/- SqRt (b) formulaga ulang.² - 4ac))/2a. E'tibor bering, bu sizga tez -tez x uchun ikkita javob beradi, bu yaxshi - bu sizning parabolada ikkita x tutish borligini bildiradi. Misol uchun quyida ko'ring:

  • -5x² + 1x + 10 kvadrat formulaga quyidagicha ulanadi:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13,18/-10) va (-15,18/-10). Parabolaning x tutilishlari taxminan x = ga teng - 1.318 va 1.518
  • Bizning oldingi standart shakl namunamiz, 2x² + 16x + 39 kvadrat formulaga quyidagicha ulanadi:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Negaki, manfiy sonning kvadrat ildizini topish mumkin emas, biz buni bilamiz x tutmaydi bu maxsus parabola uchun mavjud.

9 -qadam. Agar kerak bo'lsa, y kesmani toping va tuzing

Tenglamaning y kesimini (parabola y o'qi orqali o'tadigan nuqtani) topish ko'pincha kerak bo'lmasa -da, siz, ayniqsa, maktabda bo'lsangiz, oxir -oqibat talab qilinishi mumkin. Bu jarayon juda oson - x = 0 ni o'rnating, keyin f (x) yoki y tenglamangizni eching, bu sizga parabolangiz y o'qidan o'tadigan y qiymatini beradi. X tutilishidan farqli o'laroq, standart parabolalarda faqat bitta y kesma bo'lishi mumkin. Eslatma - standart shakl tenglamalari uchun y kesishish y = c.

• Masalan, biz 2x kvadrat tenglamamizni bilamiz² + 16x + 39 y = 39 da y kesishgan, lekin uni quyidagicha topish mumkin:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolaning y kesmasi at y = 39.

    Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, y kesishish y = c darajasida.

• Bizning tepalik formulamiz 4 (x - 5)² + 12 ning y kesmasi bor, uni quyidagicha topish mumkin:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolaning y kesmasi at y = 112.

10 -qadam. Agar kerak bo'lsa, qo'shimcha nuqtalarni, so'ngra grafikni tuzing

Endi sizning tenglamangiz uchun tepalik, yo'nalish, x kesish va ehtimol y y kesishishi kerak. Shu nuqtada, siz o'z parabolangizni ko'rsatma sifatida olgan nuqtalar yordamida chizishga urinib ko'rishingiz mumkin yoki siz chizgan egri chizig'ingiz aniqroq bo'lishi uchun parabolangizni "to'ldirish" uchun ko'proq ball topishingiz mumkin. Buning eng oson yo'li - tepalikning har ikki tomoniga bir nechta x qiymatlarini ulash, so'ngra olingan y qiymatlari yordamida bu nuqtalarni tuzish. Ko'pincha, o'qituvchilar sizdan parabolani chizishdan oldin ma'lum miqdordagi ball to'plashni talab qiladi.

• Keling, x tenglamani qayta ko'rib chiqaylik² + 2x + 1. Biz bilamizki, uning yagona x kesimi x = -1 da. Chunki u faqat bir nuqtada x kesimga tegadi, shuning uchun biz uning tepasi uning x kesimidir, ya'ni uning tepasi (-1, 0) degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bu parabola uchun bizda faqat bitta nuqta bor - yaxshi parabola chizish uchun deyarli etarli emas. To'g'ri grafik chizishimiz uchun yana bir nechtasini topaylik.

  • Quyidagi x qiymatlari uchun y qiymatlarini topamiz: 0, 1, -2 va -3.
  • 0 uchun: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Bizning fikrimiz (0, 1).

  • 1 uchun: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Bizning fikrimiz (1, 4).

  • -2 uchun: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Bizning fikrimiz (-2, 1).

  • -3 uchun: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Bizning fikrimiz (-3, 4).

  • Ushbu nuqtalarni grafikka joylashtiring va U shaklidagi egri chizishingiz kerak. E'tibor bering, parabola mukammal nosimmetrikdir - parabolaning bir tomonidagi nuqtalaringiz butun sonlar ustida yotganda, siz o'zingizni ishingizni tejashingiz mumkin, boshqa nuqtada tegishli nuqtani topish uchun parabolaning simmetriya o'qi bo'ylab berilgan nuqtani aks ettirishingiz mumkin. paraboladan.

Video - bu xizmatdan foydalanib, ba'zi ma'lumotlar YouTube bilan bo'lishishi mumkin

Maslahatlar

• E'tibor bering, f (x) = axda² + bx + c, agar b yoki c nolga teng bo'lsa, bu raqamlar yo'qoladi. Masalan, 12x² + 0x + 6 12x bo'ladi² + 6, chunki 0x - 0.
• Algebra o'qituvchisi aytganidek, sonlarni yumaloqlang yoki kasrlardan foydalaning. Bu sizga kvadrat tenglamalarni to'g'ri chizishga yordam beradi.